ANÁLISIS DEL SELLO DE SALOMÓN POR ROSO DE LUNA

 

 

El teósofo español Mario Roso de Luna hizo el siguiente análisis geométrico de uno de los símbolos que se utiliza en el sello de Salomón:

 

« Entre los diversos símbolos comentados en el trabajo del Sr. Urbano sobre el Sello de Salomón (link) el más antiguo ó de filiación menos conocida y que parece prestarse a interpretaciones y desarrollos geométricos innumerables pero fáciles de evidenciar, es el siguiente:

 

En este símbolo vemos multitud de figuras y elementos geométricos tales como:

 

-         el cuadrado con sus dos diagonales DC y BE;

-         los dos triángulos isósceles ABC y DEF cuyos ápices respectivos A y F están cada uno en el punto medio de la base del otro;

-         los  ocho triángulos rectángulos ó isósceles DEB , DEC, BCE , BCD , DOE , EOC, COB , BOD ;

-         los dos triángulos isósceles GDB y HEC que con los anteriores suman doce triángulos isósceles;

-         otros  doce triángulos escalenos tales como el AID y AKE, DIG y EKH;

-         un rombo AGFH;

-         dos rectángulos DAFB y AFCB;

-         y dos cuadriláteros no paralelográmicos OIGL y OKHM.

 

 

Reproduzcamos la figura sombreando la estrella de seis puntas que aparece inscripta en el rectángulo DECB.

 

 

Quedan así al exterior de dicha estrella cuatro triángulos escalenos iguales entre si (dos arriba y dos abajo) y otros dos triángulos laterales é isósceles también iguales entre sí.

 

Pues bien, la estrella de seis puntas inscripta se la puede considerar formada por la superposición de estas dos figuras, que además de yuxtaponerse en el símbolo de una manera idéntica a los dos triángulos del sello salomónico, forman cada una de por sí la figura geométrica llamada cuadrilátero completo por los geómetras modernos.

 

Y la importancia de este cuadrilátero completo en la antigüedad sacerdotal debió ser no menos inmensa que la que goza en nuestra geometría actual. Sobre ella debieron existir tratados especiales de geometría superior en la biblioteca de Alejandría, pues ya aparece en los fragmentos de la “Colección Matemática” de Pappus, un gnóstico que vivió en dicha ciudad a fines del siglo IV y que probablemente la aprendió de los grandes geómetras que fueron sus predecesores.

 

En el caso especial de la regularidad de cualquiera de las dos figuras anteriores los dos triángulos superpuestos ABK y ACI ó bien FDM y FEL son iguales entre sí, pero  para  formar en todo otro caso, distinto de este caso límite, la figura del cuadrilátero completo, sin semejante restricción, bastan dos triángulos cualesquiera superpuestos por un ángulo igual, aunque sus otros dos ángulos y sus tres lados respectivos no sean iguales, como se ve en la figura.

 

 

Este cuadrilátero completo formado por la superposición de los dos triángulos ABE y ACD que tienen un ángulo A igual, puede considerarse también formado por un sistema de cuatro rectas cualesquiera que se cortan de dos en dos y asimismo por la prolongación hasta su encuentro de los lados opuestos de un cuadrilátero ordinario cualquiera, tal como el ADFE, y de aquí le viene el nombre de cuadrilátero completo.

 

La geometría moderna considera en el cuadrilátero completo seis vértices ó puntos de intersección A, B, C, D, E y F y tres diagonales BC, DE y AF, que unen dos a dos, los tres pares de vértices opuestos.

 

En realidad esta prodigiosa figura, pese a su elemental aspecto, define por sí sola, entre los infinitos puntos y las infinitas rectas de su plano, una multitud de puntos y rectas singulares ó únicas, que en dicho plano gozan de una determinada propiedad. Y esto demuestra hasta la evidencia la importancia del cuadrilátero completo como uno de los más preciosos símbolos que nos legase la sabiduría de la antigüedad.

 

Ya que en efecto, el cuadrilátero completo define:

 

·        1 recta, única diagonal exterior del cuadrilátero que une los ápices B y C de los dos triángulos superpuestos.

·        2 rectas, únicas diagonales interiores AF y DE del cuadrilátero completo.

·        3 rectas, únicas diagonales del cuadrilátero.

·        4 rectas, únicos lados del cuadrilátero cortándose de dos en dos.

·        5 rectas, gráficas que se ven en la figura formada por los cuatro lados y la diagonal exterior.

·        6 rectas, ó sean los cuatro lados y las dos diagonales interiores.

·        7 rectas, número total de rectas laterales y diagonales del cuadrilátero completo.

·        8 rectas, las anteriores y la formada por los puntos medios de las tres diagonales que la geometría demuestra están siempre en línea recta.

·        9 rectas si se agrega a las anteriores el eje polar único común a los tres círculos descriptos sobre las tres diagonales como diámetros.

·        10 rectas, si se considera además el eje radical común y único para dichos tres círculos.

·        11 a 13 rectas, si además se consideran las tres rectas polares de los repetidos círculos tomadas de dos en dos.

·        14 rectas, ó sean los cuatro lados, las tres diagonales, las tres polares y los tres ejes radicales de los repetidos círculos tomados de dos en dos.

·        15 rectas, las del número anterior y el eje polar ternario común a los tres círculos dichos.

·        16 rectas, ó sean las anteriores y el eje radical ternario.

·        22 rectas, si a las anteriores se agregan las seis alturas de los dos triángulos.

·        De 22 a 28 rectas, si se consideran además las seis medianas de los dos triángulos.

·        De 29 a 33 rectas, si se considera además la bisectriz común del ángulo A y las otras cuatro de los dos triángulos.

·        34 rectas, sí se considera además la recta en el infinito que juega a veces en las demostraciones del cuadrilátero.

·        35 y 36 rectas, con las dos tangentes comunes exteriores de los círculos descriptos sobre las dos diagonales interiores como diámetros, círculos que se cortan siempre.

·        De 37 a 42 rectas, con las cuatro tangentes comunes exteriores al círculo descripto sobre la diagonal exterior como diámetro y a cada uno de los dos citados anteriormente.

·        De 42 a 54 rectas, con las anteriores y las seis tangentes comunes exteriores a los tres círculos inscriptos en cada uno de los dos triángulos que forman el cuadrilátero completo, tomando dichos círculos de dos en dos.

·        De 54 a 68 rectas, con las tangentes comunes exteriores al círculo de Euler, al inscripto y a los ex-inscriptos en el triángulo y a los descriptos sobre las tres diagonales como diámetros.

 

No seguiremos investigando acerca de alguna otra recta singular que acaso se caracterice y determine igualmente en su plano por el cuadrilátero.

 

Pero como en la figura origen de esta nota se ven no uno sino cuatro cuadriláteros completos: A I O K B C , F L O M D E , O I G L D B y O K H M E C, puede asegurarse, en resumen, que dicho símbolo entraña la determinación, por lo menos en el plano de 1 a 272 rectas únicas del plano que gozan de cierta propiedad exclusiva y característica, siquier, y dada la disposición regular de la figura, algunas pocas de ellas confundan sus segmentos en una recta común, cosa que en la misma figura, hecha irregular, no acontecería.

 

 

Además, y dado el llamado principio de correlación, que es la base de la geometría superior de Mr. Charles de la que después hablaremos, podemos también hallar determinados por el cuadrilátero completo deducido de nuestro símbolo, los siguientes puntos que gozan de determinada propiedad dentro de los infinitos del plano y que gozan de la propiedad también de ser correlativos de las rectas indicadas anteriormente, aunque no vayan expuestos por signos de orden de correlación con aquéllas.

 

·        1 punto, vértice único común a los dos triángulos superpuestos.

·        2 puntos, vértices únicos exteriores del cuadrilátero completo.

·        3 puntos, los tres vértices antes expresados.

·        4 puntos, los cuatro vértices del cuadrilátero ordinario que es núcleo del cuadrilátero completo.

·        5 y 6 puntos los anteriores y los vértices extremos B y C.

·        7 puntos, el total do vértices del cuadrilátero completo con más el punto de intersección de las dos diagonales interiores.

·        8 a 11 puntos, ó sean los anteriores y los puntos medios de las tres diagonales que están siempre en línea recta.

·        12 puntos, si a los anteriores se agrega el polo único común a los tres círculos descriptos sobre las tres diagonales como diámetros.

·        13 puntos, que son los expresados y el centro radical común a dichos tres círculos.

·        De 14 a 17 puntos, sí se agregan los polos de los tres círculos dichos, tomados de dos en dos.

·        De 17 a 19 puntos, ó sean los anteriores y los centros radicales comunes a dichos tres círculos de dos en dos.

·        21 puntos, los anteriores y los de intersección de la diagonal exterior con cada una de las dos diagonales interiores.

·        De 22 a 28 puntos, los anteriores y los seis pies do las seis alturas de los dos triángulos del cuadrilátero.

·        De 28 a 34 puntos, con los pies de las seis medianas de los dos triángulos dichos.

·        De 34 a 42 puntos, con los pies de las seis bisectrices de los mismos.

·        De 40 a 48 puntos, con los  dos centros de los dos círculos inscriptos y los seis circunscriptos a los dos triángulos.

·        De 48 a 52 puntos, con los cuatro centros del círculo de 9 puntos de Euler ó del de 12 puntos de Feuerbach, para los dos triángulos que forman el cuadrilátero completo y para los dos triángulos de diferencia entre éste y el cuadrilátero ordinario generador.

 

Y si hubiéramos seguido con más fidelidad la ley de correlación, se habrían aumentado no pocos puntos y rectas más a los ya dichos.

 

Los puntos considerados suponen pues, para los cuatro cuadriláteros completos del símbolo que nos ocupa, 272 puntos correlativos a otras tantas rectas, ó en suma, un mínimo de 544 puntos y rectas del plano que gozan de una propiedad característica.

 

 

Considérense ahora los innumerables teoremas geométricos que con elementos tan múltiples se pueden formular, y se adquirirá la evidencia de que la figura en cuestión es de las más sintéticas y augustas que la sabia antigüedad perdida nos ha podido transmitir después de un largo periodo de oscurantismo.

 

Ya que esta figura, en efecto, es clara geométrica, a la par antigua y moderna, como que ningún geómetra ignora que por el cuadrilátero completo se explican sintéticamente todas las teorías de la geometría elemental analítica ó sintéticamente y otras ya menos elementales, tránsito a la novísima geometría superior, tales como:

 

1. Los conjugados anarmónicos y armónicos.
2. Las series de puntos.
3. Las series de rectas.
4. Los haces de planos.
5. La teoría proyectiva.
6. Las figuras homológicas y homotétícas.
7. La teoría de polo y polar en el círculo y el elegante método de las polares recíprocas.
8. Las figuras semejantes, y dentro de ellas los casos especiales de igualdad.
9. La teoría de los ejes y centros radicales para el círculo.
10. Las figuras inversas.
11. El método de transformación geométrica por radios rectores recíprocos.
12. El círculo de Euler ó de los 9 puntos ó el de Feuerbach de los 12 puntos, a saber: los puntos medios de los tres lados de todo triángulo, los pies de sus tres alturas, los tres puntos medios de las distancias del punto de concurso de las tres alturas: a los tres vértices del triángulo y los cuatro puntos de tangencia respecto del círculo inscripto y de los tres ex-inscriptos en el triángulo dicho.

 

Y algunas otras teorías menos importantes que abarcan toda la síntesis de la geometría del plano y de la radiación y son la base primera para el estudio de la perspectiva, invento felicísimo que nos permite a su vez estudiar en el plano todas las relaciones del espacio.

 

 

 

El conocimiento de la geometría viene desde tiempos muy antiguos

 

Quien quiera convencerse por si mismo de la exactitud de cuanto decimos, puede verlo desenvuelto en el meritísimo apéndice 9 del libro III del “Tratado de Geometría elemental” de Eugène Rouché y Charles de Comberousse, a quien para mayor demostración de nuestros asertos seguimos con la mayor fidelidad en el presente artículo.

 

Y tomándose la molestia de meditar sobre dicho apéndice, cuanto sobre el profundo prefacio de la obra, ó leyendo los artículos de Mackey en la “Chamber’s Encyclopedia”, ó las investigaciones de George Biddell Airy y de Francis Baily acerca de la astronomía antigua, se adquirirá la convicción de que el saber perdido de Egipto y de India, alcanzaba a todos los problemas de la ciencia geométrica pura y aplicada en un grado de desarrollo, igual por lo menos al tan alto de que el mundo occidental moderno se vanagloria.

 

Es verdad que leyendo dicho prefacio parece como que a medida que han transcurrido los siglos se han ido acumulando las conquistas geométricas hasta la prodigiosa florescencia de hoy en día, pero lo que hay de real en este fenómeno es el hecho de que grandes periodos de barbarie han sepultado excelsas civilizaciones con todos sus tesoros científicos, y cuyo ulterior, lento y gradual redescubrimiento ha sido difícil debido a que no se trata de objetos materiales sino de ideas ó cuanto más, de libros, constituye nuestra ciencia actual, la ciencia de nuestro ciclo.

 

¡Qué diría el filósofo Vico entre aquel período de barbarie pasada y otro más ó menos lejano de barbarie futura!

 

Hay entre el progreso de la ciencia positiva moderna y la formación de los árboles genealógicos, un manifiesto paralelo. Y partiendo aquélla de un principio común, felizmente salvado del naufragio y de un tronco común, éstos han ido desarrollándose, dividiendo y subdividiendo su ramaje inmenso.

 

Pero en uno y en otro árbol existe un fenómeno de estrabismo, ya que lo tomamos sólo en un sentido que es hacia nosotros, y cuando lo consideramos en sentido inverso ó hacia el pasado, entonces los conceptos cambian y aquel único tronco del principio salvado es mera rama de todo un sistema científico transcendente, como aquel único tronco genealógico, origen de nuestro árbol genealógico resultamos proceder de 2 padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos, 16 tatarabuelos, 32, 64, 128, 256, etc., ascendientes de grado ulterior.

 

El verdadero árbol histórico resulta así invertido a nuestra vista, y en cuanto a lo humano, sus múltiples ramas de millares de antepasados, según la progresión geométrica nos hacen a las humanidades pretéritas solidarias por entero de la traída a la vida de cualquiera de nosotros.

 

Pero todo este vasto conjunto de ascendientes no hacemos nuestra historia más que con aquellos que por la índole singular de sus hechos se hiciesen perdurables en el recuerdo. De igual modo entre las innumerables verdades geométricas resumidas en los símbolos típicos paseados por toda la antigüedad, tales y tan excelentes como el Sello de Salomón, síntesis de todos ellos, sólo encontramos algunos, pocos, aquí y allá esparcidos en trabajos fragmentarios y de discípulos de discípulos, alterados acaso en su excelsitud prístina, pero suficientes a desprender luz al choque con el genio que investigue entre sus ruinas.

 

Huygens, Poncelet y Charles, en efecto, pueden considerarse los tres grandes reveladores de la geometría tal y como hoy se nos presenta, pero para ello ha sido preciso que Huygens fuese previamente, según el dicho de Newton, el más perfecto y el más excelso imitador de los antiguos. (Esto se menciona en el prefacio de la obra citada).

 

En cuanto a Poncelet, su clásico “Tratado de las propiedades proyectivas” que es la base de la geometría de posición, no tiene otro fundamento que el de dos teoremas atribuidos a Desargues, matemático del siglo XVII, pero los que se hallaron por éste en el “Tratado de los Porismos” de Euclides, matemático del siglo III a. de C., quien a su vez, según Ronché y Comberousse, resumiendo los descubrimientos de sus antecesores y los suyos propios, reunió la escuela platónica a la de Alejandría y así preparó la obra de sus sucesores.

 

Y semejantes antecesores no eran otros que Platón (del siglo V a. de C.), quien escribió en el frontispicio del Liceo: “que nadie entre que no sepa de geometría”; y su maestro Pitágoras de Samos (del siglo VI a. de C.) y cuya escuela fuera la continuación de la Jónica de Tales de Mileto, que unos seiscientos a setecientos años antes de nuestra Era importase en Grecia la geometría aprendida durante su iniciación en los templos de Egipto. Templos cuya sabiduría convive con la cuna de la humanidad a través de ciclos perdidos que hoy se toman como mitológicos más que históricos.

 

En cuanto a Mr. Charles, dicen los mismos autores que:

 

« Un pasaje obscuro de los Porismos de Euclides y algunos lemas del antiguo Pappus (siglo VI) —lemas probablemente inspirados en el estudio de este y de otros tesoros alejandrinos, aunque para nosotros ya perdidos— lo ha conducido felizmente hacia su geometría superior, adivinando en ellos algo muy grande que en vano pusiese a prueba la sagacidad de las más ilustres inteligencias de los últimos siglos. »

 

Y hasta las mismas videncias del matemático Monge (del siglo XVIII) al fundar la geometría descriptiva, se debió a lo familiarizado que tenía su espíritu con las enseñanzas de aquellos clásicos, haciendo ver la íntima alianza de las figuras planas y las del espacio, sentando así el principio de las llamadas relaciones contingentes ó de continuidad, por las que se consideran indiferentemente como redes ó como imaginarias todas las diversas partes de la figura, con lo cual la vieja geometría métrica penetró de lleno en el excelso mundo de lo abstracto, de lo por decirlo así, sin forma.

 

La geometría de Pitágoras y Platón, aun considerando sólo los fragmentos de ella que han llegado hasta nosotros, abarcaba ya el famoso teorema del triángulo rectángulo, cuyos gráficos han sido ya apuntados en el texto que comentamos; la teoría de los sólidos regulares, la de los máximos y mínimos superficiales y volumétricos; el fecundo método de los lugares geométricos; el fecundísimo llamado analítico ó algebraico y la teoría de las secciones del cono; círculo, elipse, parábola é hipérbola, con sus diferentes propiedades, desenvuelta luego por Apolonio (quien vivió en el siglo III a. de C.) y aplicadas a la astronomía.

 

Es decir que sin contar la parte mayor perdida ó secreta y objeto sólo de iniciaciones superiores, no desmerecía la geometría importada de Egipto por los griegos de nuestra presente geometría.

 

Conocidas son también las tentativas de Simpson (1717-1785) para descifrar la parte ignota de los Porismos de Euclides, aunque los verdaderos continuadores de la gran obra Pitagórica son Arquímedes (287-212 a. de C.), Apolonio (247 a. de C.), Hiparco (150 a. de C.), Menelao y Tolomeo con la trigonometría de su Almagesta, en el siglo I y II d. de C., y finalmente la escuela de Bagdad que en el siglo IX y que comentó con gran fruto los escasos restos salvados del incendio de la Biblioteca de Alejandrina.

 

 

 

Más análisis geométrico sobre la figura

 

Las relaciones numéricas entre los múltiples elementos integradores del cuadrilátero completo encerrado en el símbolo que comentamos, acaso no están apuradas aún por nuestra moderna geometría.

 

Al ser ellas síntesis de nuestros más altos conocimientos geométricos, son a la vez síntesis y compendio también del universo objetivo, ya que aunque empezamos a conocer las leyes que rigen a la fenomenología del Cosmos mediante la observación y la experiencia, es por demás sabido que las ciencias positivas no revisten verdadero carácter de generalidad hasta que no caen dentro de la férula matemática que las sintetiza, como se ve con la mecánica racional, la física matemática, la física química, etc., etc.

 

Es soberanamente curioso el que las proposiciones fundamentales del cuadrilátero completo se hallen ya en autores antiguos con cuyos mutilados redescubiertos van encontrando los geómetras modernos suscitaciones para los desarrollos más fecundos. Así vemos que el teorema de que «en todo cuadrilátero completo cada diagonal prolongada queda dividida armónicamente por las otras dos», es la proporción número 129 de la “Colección Matemática” de Pappus, y se sabe que se llamaba armónica a la relación:

 

 

que se determina en cada diagonal según aquel teorema porque constituía la base de la teoría platónica de los tonos musicales, teoría que desgraciadamente no ha llegado hasta nosotros, pero que, como se ve, tenía una base geométrica, también comprendida en el símbolo salomónico.

 

Llamar geométrica a dicha base, equivale a llamarla matemática. No distaría pues tanto de la teoría musical numérico-vibratoria moderna, ni sería tan artificiosa como el frívolo juzgar de algunos imaginara caprichosamente.

 

Existe toda una geometría novísima sobre las relaciones anarmónicas y armónicas que se derivan del estudio del cuadrilátero completo. El desarrollarlas, sobre todo para los no iniciados en estas alturas geométricas, daría a esta nota proporciones de libro, cuando además pueden verse en el apéndice citado ó en algunas obras similares.

 

Pero no podemos menos de indicar algunas ideas fundamentales.

 

La llamada relación anarmónica de cuatro puntos A, B, C y D de una recta es el cociente de las relaciones de las distancias de dos cualesquiera de estos puntos C y D, por ejemplo, a los otros dos, ó sea:

 

 

en donde x representa un valor que varía a medida que C y D se mueven de un modo cualquiera el uno entre A y B y el otro fuera del segmento AB.

 

Claro es que estos valores varían según la respectiva posición de C y D con respecto a A y B.

Pero entre todos estos valores hay 4 singulares, considerando ahora fijos a A, B y C y móvil sólo a D, a saber:

 

• Cero cuando D pasa sobre B.
• Infinito cuando pasa sobre A.
• Uno cuando pasa por C (colocado en el punto medio de A y B como le hemos supuesto en la figura).
• Y menos uno cuando los puntos C y D (considerado de nuevo C como variable) se hallan en una excepcional posición, tal y como los puntos P y Q de la figura, determinados por la prolongación de las dos diagonales del cuadrilátero completo sobre la tercera, como ya decimos al hablar de la proposición 129 de Pappus.

 

Sobre un haz de cuatro rectas OA, OB, OC y OD, cortados por una recta móvil cualquiera M se pueden hacer idénticas consideraciones, de las que resultan las relaciones anarmónicas de un haz de cuatro rectas, ó sean las relaciones anarmónicas de los cuatro puntos que este haz determina sobre una transversal cualquiera (M ó M'), relaciones cuyo valor es constante y bastan para caracterizar el haz.

 

Ellas admiten los mismos casos singulares antes expuestos y llevan por la mano a todos los teoremas de homología ó involución, según demuestra el “Tratado de Geometría superior” de Mr. Charles, apoyada en otra proposición de Pappus, la número 322, también derivada del cuadrilátero completo y acerca de la cual dice el mismo autor en su prólogo:

 

« Ninguna proposición me parece tan adecuada para descubrir relaciones ó demostrar propiedades en una figura; hasta el misino teorema de la proporcionalidad entre los lados de dos triángulos semejantes supone la consideración lineal, auxiliares que rara vez aparecen entre los datos de la cuestión, mientras que las relaciones anarmónicas se presentan casi siempre en la figura misma o pueden formarse muy fácilmente. »

 

Nunca se ponderará bastante, en efecto, la teoría de las relaciones anarmónicas y la de las armónicas como caso especial suyo, porque permiten hacer lo que se ha llamado geometría por partida doble ó sean series dobles de teoremas correlativos, sin más que substituir los conceptos de recta y punto recíprocamente en los enunciados.

 

Vaya un ejemplo de esta correlación de enunciados en los dos teoremas de Desargues que antes citáramos como base del “Tratado de las propiedades proyectivas” de Poncelet, y que demostrado el uno, el otro queda demostrado también:

 

Teorema Cuando dos triángulos tienen sus vértices situados dos a dos en tres rectas que concurren en un mismo punto, sus lados se cortan dos a dos en 3 puntos situados en línea recta.

Teorema Cuando dos triángulos son tales que sus lados se cortan dos a dos en tres puntos situados en línea recta, sus vértices están situados dos a dos en tres rectas que concurren en un punto.

 

 

Esta teoría es base de multitud de teoremas aplicables al círculo, tales como los siguientes:

 

A) La relación anarmónica constante de cuatro puntos fijos de una circunferencia respecto de otro quinto punto que sobre ella se mueva y su correlativo de la relación anarmónica constante de las cuatro tangentes, respecto de una quinta móvil.

 

B) En todo hexágono inscripto los tres pares de lados opuestos se cortan dos a dos en tres puntos que están en línea recta (teorema de Pascal) y su correlativo (teorema de Briandson), y de que en todo hexágono circunscripto las tres diagonales que unen los vértices opuestos concurren en un punto.

 

C) Todos los problemas de tangentes y puntos de tangencia a uno, dos o tres círculos están estrechamente ligados, en fin, con las relaciones anarmónicas desprendidas del cuadrilátero completo.

 

D) La aplicación adecuada de los dos teoremas mencionados en (B) a todo pentágono, cuadrado y triangulo inscriptos y circunscriptos, por ser ellos hexágonos con uno, dos ó tres lados reducidos a un valor cero, conclusión que abarca para el triángulo al principio de que las tres medianas concurren en un punto, las tres alturas en otro punto y las tres bisectrices en otro, puntos estos tres últimos que se confunden en uno en cada uno de los dos triángulos equiláteros del sello salomónico, por ser idénticas y confundirse a su vez, las medianas, alturas y bisectrices rectas que cada una de ellas es triple por tal razón, a la manera de como es triple también el centro del círculo considerado como punto límite de los focos y de la distancia media de los focos de una elipse cuya excentricidad se ha reducido a cero.

 

~ * ~

 

Las tan importantes conclusiones a las que nos conduce el considerar como hexágono a todo polígono de un número de lados inferior (cinco, cuatro ó tres); las propiedades de excepcional regularidad, por decirlo así, del hexágono regular (tales como el ser su lado igual al radio y su apotegma la mitad del radio, constituir el triángulo equilátero con sus vértices alternados y el rombo con dos de sus lados y los radios correspondientes), son una prueba más de la importancia del número seis, etcétera, en la naturaleza, seis que con el  uno, el centro, el ignorado ó incognoscible,  constituye ese Sagrado y Abstracto siete reflejado tanto en todos los símbolos que el Sr. Urbano con tanta sagacidad ha recogido, cuanto en todas las correlaciones que análogamente encuentra en lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño nuestro tratadito “Evolución solar y series astro químicas” [Évolution solaire et series astrochimiques] (París, 1906).*

 

Por ser ya de geometría más elemental renunciamos a demostrar de qué modo la combinación de posiciones de dos triángulos isósceles, de los que vemos en la primera figura, pueden aplicarse para la formación de multitud de figuras demostrativas de teoremas sobre bisectrices perpendiculares, oblicuas y paralelas, etc., etc.

 

Lo apuntado creo basta a la cumplida demostración relativa de la importancia del símbolo referido, y todas ó casi todas las propiedades apuntadas respecto del cuadrilátero completo son aplicables, por otra parte, como es sabido, al plano y al espacio.

 

 

(* Nota: sin pretender extractar dicho trabajo, diremos sólo que en el se demuestra la coexistencia en el sistema planetario de una serie de seis planetas pequeños, otra de seis planetas grandes y otra de seis tipos de soles; la correlación serial con otras seis series ó evoluciones de los átomos y sus pesos proporcionales; la correlación serial por seis en los dos grupos de satélites grandes y pequeros de Júpiter y Saturno y otra multitud de consideraciones concordantes que demuestran al número seis como formador del macrocosmos y del microcosmos. Y también este hecho debió de ser conocido en la antigüedad a juzgar por los diversos mitos de los seis dados de Baco, etc., etc.) »

(Sophia, octubre de 1907, p.366-375)